Δευτέρα, Μαρτίου 19, 2007

Η ευσέβεια του Ερατοσθένη



Τα μαθηματικά γεννήθηκαν για να διευκολύνουν την επικοινωνία με τους θεούς. Στη συνέχεια έγιναν η γλώσσα για την περιγραφή του κόσμου. Και τώρα;

Ένα από τα τρία προβλήματα κατασκευής των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών ήταν ο διπλασιασμός του κύβου. Λέγεται μάλιστα ότι ο Θεός είχε δώσει χρησμό στους Δηλίους ότι για να απαλλαγούν από τον λοιμό οφείλουν να διπλασιάσουν τον υπάρχοντα βωμό. Πολλοί προσπάθησαν να λύσουν αυτό το πρόβλημα. Κι όταν ο Ερατοσθένης, που θεωρούνταν ο ιδρυτής της μαθηματικής γεωγραφίας, πίστεψε ότι τα κατάφερε, έκανε μια θυσία στους θεούς.

Τα μαθηματικά έχουν κληρονομήσει από τη φιλοσοφία και τη θεολογία διάφορα προβλήματα, όπως η ύπαρξη του απείρου και η αρχή της συνέχειας στην αλυσίδα της ζωής. Για να απαντήσουν σε αυτά τα ερωτήματα, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν σήμερα εργαλεία πρωτοφανούς ισχύος. Και τα θεωρήματά τους επηρεάζουν τα πάντα, από τη φιλοσοφία μέχρι το Ipod. Από αυτά εξαρτώνται η επεξεργασία των εικόνων, η πτήση των αεροπλάνων, η χρήση των μηχανών αναζήτησης, τα μοντέλα της οικονομίας. Σύμφωνα όμως με τον Ιταλό μαθηματικό Πάολο Τσελίνι, που διδάσκει μαθηματική ανάλυση στο Πανεπιστήμιο της Ρώμης, από τους μαθηματικούς λείπει σήμερα κάτι σημαντικό: η ευσέβεια που χαρακτήριζε τον Ερατοσθένη και τους αρχαίους Έλληνες. Προσπαθούν να απαντήσουν σε όλα τα ερωτήματα, ακόμη και τα πιο θεμελιώδη. Μα με το Θεώρημα της Μη Πληρότητας, ο μεγάλος Αυστριακός μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ έχει δείξει καθαρά ότι στην επιστήμη υπάρχουν όρια.

Ο μαθηματικός λογισμός των τελευταίων δεκαετιών, λέει ο Τσελίνι που έλαβε μέρος την περασμένη εβδομάδα σε ένα διεθνές Φεστιβάλ Μαθηματικών στην ιταλική πρωτεύουσα, στηρίζεται σε δύο θεμέλια: τις εξισώσεις της μαθηματικής φυσικής και την έννοια του αλγορίθμου. Μεταξύ άλλων, οι αλγόριθμοι χρησιμεύουν στη «μετάφραση» των εξισώσεων ώστε να μπορεί να τις εκτελέσει ένας υπολογιστής. Και η ομοιότητα των σύγχρονων λογαρίθμων με τους αρχαίους είναι εντυπωσιακή. Σε πολλές από τις μεθόδους που χρησιμεύουν για την επίλυση πολύπλοκων συστημάτων εξισώσεων επαναλαμβάνονται τα σχήματα των μαθηματικών που μελετούσαν οι Ινδοί, οι Κινέζοι, οι αρχαίοι Έλληνες και οι κάτοικοι της Μεσοποταμίας. Κεντρική θέση στα σχήματα αυτά έχει ο γνώμων, η επίπεδη επιφάνεια που προκύπτει όταν αφαιρούμε ένα παραλληλόγραμμο από μια γωνία ενός μεγαλύτερου παραλληλόγραμμου. Στην αλγεβρική προέκταση αυτής της επιφάνειας στηρίζονται οι μέθοδοι επίλυσης των εξισώσεων που χρησιμοποίησαν πρώτα οι Άραβες μαθηματικοί, και στη συνέχεια ο Φρανσουά Βιέτ και ο Νεύτων.

Αριθμοί και γνώση είναι το ίδιο πράγμα, έλεγε ο Άγιος Αυγουστίνος. Μπορούμε να πούμε λοιπόν ότι οι αριθμοί είναι ο κρυφός κινητήρας της προόδου; Όχι, απαντά ο Τσελίνι. Τα μαθηματικά είναι ισχυρά, αλλά δεν φέρνουν κατ'ανάγκη την πρόοδο. Πολλοί επιστήμονες, όταν αντιλαμβάνονταν κάποια στιγμή ότι συνέβαλλαν σε μια μεγάλη επανάσταση, προειδοποιούσαν ότι επίκειται καταστροφή.

11 Comments:

At 19/3/07 12:26 μ.μ., Blogger Spinoza said...

Και ο Απόστολος Δοξιάδης είναι new-othodox αλλά δεν το κάνει ζήτημα.

Κρίμα πάντως γιατί οι μαθηματικοί μου αρέσουν φοβερά ως γκόμενοι γιατί είναι πανέξυπνοι αλλά λαο παροιμιώδη ούφο γιαυτό και έχω συμβιβαστεί με τους δεύτερους πιο σέξυ επιστήμονες, τους χημικούς μηχανικούς, έπονται οι πολιτικοί μηχανικοί και μετά οι δικηγόροι που είναι εξαιρετικά κίνκυ τύποι.

Για να δείτε τη λεπτή κόκκινη γραμμή που χωρίζει τη λογική από τον παραλογισμό μέσα σ'ενα μαθηματικό μυαλό, δείτε αυτό που μου είχε στείλει ο Άλμπεριχ πριν από καιρό. O καλλιτέχνης απέδειξε το "αντι-Πυθαγόρειο θεώρημα".

 
At 19/3/07 12:42 μ.μ., Blogger Μιχάλης Μητσός said...

Αγαπητή Σπινόζα, μιας και σ'αρέσουν οι μαθηματικοί, σου συνιστώ να παρακολουθήσεις απόψε στις 8 (ώρα Ελλάδας) την πολύκροτη ανακοίνωση που θα γίνει στο ΜΙΤ για τη λύση του μυστηρίου της μαθηματικής δομής Ε8, που αποτελείται από 248 διαστάσεις! Πρόκειται για κατόρθωμα ανάλογο με την αποκωδικοποίηση του ανθρώπινου γονιδιώματος.

 
At 19/3/07 12:55 μ.μ., Blogger Spinoza said...

Τέτοια διαβάζω και "φτιάχνομαι" εγκεφαλικώς μεσημεριάτικα. :-) Πάω να ψάξω!

 
At 19/3/07 1:27 μ.μ., Blogger Spinoza said...

Ναι, αλλά δεν μπορούν ακόμη να προσδιορίσουν με ακρίβεια τις εφαρμογές της ανακάλυψης! Σημείωστε βεβαια πως ομιλείτε σε κάποια που έχει τόση σχέση με τις Θετικές Επιστήμες όση έχει και ο Στάθης με την Ιστορία. :-) Απόλυτα ερασιτεχνική! Είναι εντυπωσιακό πάντως πως σήμερα θα δοθεί η απάντηση σε μία ερώτηση του προηγούμενο αιώνα, απτή απόδειξη ότι η επιστημονική σκέψη παραμένει η πλέον συναρπαστική "εφαρμογή" της ανθρώπινης διάνοιας αφού διαρκώς εξελίσσεται.

"Δεν μπαίνεις ποτέ δύο φορές στο ίδιο ποτάμι", έλεγε ο Ηράκλειτος και δεν μετέρχεσαι ποτέ για μία φορά ένα επιστημονικό κλάδο στη διάρκεια ενός ανθρώπινου βίου, αν είσαι τυχερός γίνεσαι μάρτυρας απίστευτων αλλαγών.

 
At 19/3/07 2:49 μ.μ., Blogger Μαύρο πρόβατο said...

Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

 
At 19/3/07 2:52 μ.μ., Blogger Μαύρο πρόβατο said...

"Έχει όρια η επιστήμη";
Η φιλοσοφική έννοια του ερωτήματος, σε ο,τι αφορά την επιστήμη των μαθηματικών τουλάχιστο, οδηγεί σε αρνητική απάντηση. Τα μαθηματικά, ως η πιό αφηρημένη εκδοχή της ανθρώπινης σκέψης, έχουν εγγενή όρια - τα όρια της γλώσσας. Κάθε μαθηματικός που έχει βιώσει τη διαδικασία παραγωγής της επιστήμης του έχει να μας πει για αυτά τα όρια, πέρα από τα οποία βρίσκεται το βασίλειο της ενόρασης, της ακατέργαστης έμπνευσης, της θολής μορφής που περνώντας στην άλλη όχθη, διατυπώνεται ως μαθηματική ιδέα.
Δεν πρόκειται λοιπόν για όρια/αδιαπέραστα τείχη, αλλά για τα πέρατα μιας διαρκώς εξελισσόμενης επικράτειας.

Βέβαια, τα μαθηματικά δεν ήταν ποτέ - ακόμη λιγότερο σήμερα - το προϊόν μεμονωμένων στοχαστών που "δυστυχούν", ασκούμενοι διαρκώς σε αυτή τη διέλευση. Το πρόγραμμα είναι μια φιγούρα που ορίζει την εργασία των μαθηματικών, είτε ως ατομική οργάνωση της εργασίας που ξεκινάει από ερωτήματα που έχουν τεθεί και ανοίγεται σε νέα, είτε ως συνεργασία μεταξύ πολλών με έναν κοινό σκοπό που τους ξεπερνάει. (Μερικές φορές δε, το ίδιο το πρόγραμμα λαμβάνει διαστάσεις αυτόνομου μαθηματικού έργου, ως αρθρωμένο σύνολο ερωτημάτων και εικασιών.)
Αν λοιπόν η επίλυση της εικασίας του Πουανκαρέ (στην πραγματικότητα, μιας γενίκευσής της) από τον Πέρελμαν ή η απόδειξη του "θεωρήματος" του Φερμά (στην πραγματικότητα, μιας γενικότερης πρότασης) ανήκει στο "πρώτο είδος" προγράμματος, όπου ο μελετητής σιγά-σιγά αναλύει το πρόβλημα, και αξιοποιεί μέσω κατάλληλων γενικεύσεων όλη τη σχετική πρόοδο των μαθηματικών, η κατανόηση του Ε8 υπήρξε προϊόν συλλογικής δουλειάς.
Χοντρικά, οι ομάδες Lie είναι ομάδες συνεχών μετασχηματισμών που περιγράφουν συμμετρίες. Παράδειγμα: οι τετραγωνικοί πίνακες δύο επί δύο με ορίζουσα ίση με το ένα. Ας συγκρατήσουμε οτι πρόκειται για μαθηματικές οντότητες με πλούσια δομή, που μπορούν να ειδωθούν με πολλούς "τρόπους": ως ομάδες, ως άλγεβρες, ως πολλαπλότητες...
Οι ομάδες Lie υπακούουν σε μια τυπολογία, που είχε καταστρωθεί ήδη στα τέλη του 19ου αιώνα. Μπορούμε να πούμε οτι η τυπολογία αυτή τις χωρίζει σε δύο "οικογένειες", "κανονικές" και "εξαιρετικές", οτι οι "κανονικές" ήταν οι πιό εύκολες να κατανοηθούν, και οτι από τις "εξαιρετικές" μόνον η Ε8, η πολυπλοκότερη ανάμεσά τους, έμενε να κατανοηθεί. Ας πούμε επίσης οτι με τον όρο "κατανόηση" εννοούμε την διατύπωση αλγεβρικών μορφών αναπαράστασής των ομάδων. Για την Ε8, μας ενδιέφερε να βρούμε κάποια πολυώνυμα ακέραιων συντελεστών, με το σκοτεινό όνομα "πολυώνυμα Kazhdan-Lusztig για την πραγματική ομάδα διαχωρισμούt G(R) τύπου E8.
Η τιμή αυτών των πολυωνύμων στο 1 μας δίνει τους συντελεστές των τύπων για τους ανηγμένους χαρακτήρες αναπαράστασης του G(R) - όποιος βαρέθηκε, μπορεί να συγκρατήσει οτι το ζητούμενο ήταν η εύρεση ενός πολυώνυμου για κάθε "κουτάκι" ενός ταμπλώ με 450000 στήλες και άλλες τόσες γραμμές, άντε για τα μισά κουτάκια γιατί τα άλλα μισά είναι μηδέν.

Κάθε τέτοιο πολυώνυμο προκύπτει από απλούς σχετικά υπολογισμούς - όμως 100 δισεκατομμύρια τέτοιους υπολογισμούς κανένα γκρούπ μαθηματικών δεν μπορεί να τους κάνει. Το όλο έργο λοιπόν ήταν να φτιαχτεί ένα πρόγραμμα, του οποίου οι φαραωνικές απαιτήσεις σε υπολογιστική ισχύ περιορίστηκαν χάρις σε μια σειρά από έξυπνες παρατηρήσεις. Η δουλειά άρχισε το 2003, ένα πρώτο πρόγραμμα ήταν έτοιμο το 2004 από έναν εξαιρετικό και πρόωρα χαμένο μαθηματικό, τον Fokko du Cloux, και στο τέλος του 2006, μετά από πολλές βελτιώσεις, διορθώσεις λαθών και την εύρεση ισχυρού υπολογιστή έτρεξε κι έδωσε 8 Ιανουαρίου του 2007 το πολυπόθητο αποτέλεσμα.

Αξίζει να σημειωθεί εδώ οτι για όλο αυτό εργάστηκαν 20 περίπου άτομα, από τη Γαλλία και τις ΗΠΑ, και οτι ήταν πολύ δύσκολο να βρεθούν... 150000 δολλάρια χρηματοδότησης του πρότζεκτ.
Αξίζει να θυμόμαστε οτι η κατανόηση του Ε8 δεν προσθέτει άμεσα ούτε δεκάρα στις τσέπες καμμιάς πολυεθνικής, ή του κράτους.
Απλώς, μια σειρά από ερωτήσεις απαντιούνται, και πολλά προβλήματα λύνονται από αυτό. Σε λίγες δεκαετίες θα είναι δύσκολο να μη βρει κανείς σε ένα ευρύτατο φάσμα τεχνολογικών επιτευγμάτων, τη συμβολή αυτής της δουλειάς.

Αλλά τότε, μόνο κάποιοι τρελαμένοι μαθηματικοί θα θυμούνται τον Adams, το du Cloux και τους "παλαβιάρηδες" συνεργάτες τους, που πήγαν τα όρια λίγο παραπέρα...

 
At 19/3/07 3:04 μ.μ., Blogger spiretos72 said...

Εγώ πάλι δεν κατάλαβα τι είναι ο γνώμων (η επίπεδη επιφάνεια που προκύπτει όταν αφαιρούμε ένα παραλληλόγραμμο από μια γωνία ενός μεγαλύτερου παραλληλόγραμμου ???). Ούτε πως ο Goedel έδειξε πως η επιστήμη έχει όρια (την μη-πληρότητα εννοείτε?).... ούτε πως τα θεωρήματα επηρεάζουν την πτήση των αεροπλάνων (με την ίδια λογική που μια θεωρία για την βαρύτητα επηρεάζει την συμπεριφορά της βαρύτητας?)

Αλλά πάλι μπορεί να μην τα παίρνω τα γράμματα :-)

 
At 19/3/07 3:34 μ.μ., Blogger Spinoza said...

Ωραίο σχόλιο, Μαύρο Πρόβατο. Χορταστικό! Μου άρεσε η παρατήρηση για τα όρια της γλώσσας, αυτή ακριβώς τη συζήτηση είχα μ'ενα συνθέτη σύγχρονης μουσικής με τον οποίο προσπαθούσαμε να χαράξουμε μία "επικοινωνιακή τακτική" και μου έλεγε γιαυτή ακριβώς τη δυσκολία έκφρασης και τον εξ ανάγκης ορισμό αρκετών πραγμάτων αποφατικά. :-)

Οπότε λοιπόν, αναζητούσαν την αλγεβρική διατύπωση ενός γνωστού θεωρητικού σχήματος και προφανώς μόνο δια της αλγεβρικής διατύπωσης θα προέκυπταν οι εφαρμογές, αν εννόησα καλώς. Απορώ που βρέθηκαν τα χρήματα για κάτι τέτοιο, ποιος ξέρει τί έταξαν στους χρηματοδότες, θα είχαν καλούς PR. 8-)

Τώρα για το αν στο μέλλον θα θυμόμαστον τον du Cloux εξαρτάται από το αν βρεθεί ένας συγγραφεας να τον κάνει ήρωα λογοτεχνικού βιβλίου ή άν κάποιος από τους παίδαρους του Χόλυγουντ αποφασίσει να τον υποδυθεί.

 
At 19/3/07 4:32 μ.μ., Blogger Μαύρο πρόβατο said...

Ευχαριστώ πολύ για το κομπλιμάν :-)
Να συμπληρώσω πάντως οτι στα μαθηματικά δεν γνωρίζουμε κάτι παρά μόνο μέσω της διατύπωσής του - τα (μαθηματικά) "πράγματα" έχουν την ιδιαιτερότητα να "είναι" διατυπώσεις όπως και οι σχέσεις μεταξύ τους είναι κι αυτές πράγματα, αν και βέβαια η μαθηματική σκέψη δεν εξαντλείται, απλώς καταλήγει, στις διατυπώσεις.

-Οι εφαρμογές είναι έμμεσες και πολλές φορές απρόσμενες. Πολλές φορές οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν τον όρο για να χαρακτηρίσουν μόνο τα όχι εντελώς αφηρημένα μαθηματικά. Μια διάσημη συνοπτική τοποθέτηση για τη σχέση των μαθηματικών με τις εφαρμογές, δες εδώ

μ'ενα συνθέτη σύγχρονης μουσικής με τον οποίο προσπαθούσαμε να χαράξουμε μία "επικοινωνιακή τακτική"

Προσοχή, έτσι πήγε να την πάθει κι ο Καραμανλής με το... Σπανουδάκη
:-))))))))) (πλάκα κάνω!)

 
At 19/3/07 7:35 μ.μ., Blogger μαριέλε μαστροκάλου said...

H ευσέβεια τού Ερατοσθένη είναι η ευσέβεια στή ζωή.

 
At 20/3/07 12:46 π.μ., Blogger Ακταίων said...

Eκείνο νομίζω που έχει σημασία είναι ότι στη διεθνή μαθηματική κοινότητα τα Ελληνόπουλα βρίσκονται σταθερά στις τελευταίες θέσεις σε διεθνείς διαγωνισμούς μαθηματικών, πρωτευόντων των Ασιατών. Επανέρχομαι έτσι πάλι στο δυσάρεστο θέμα της παιδείας των νέων. Δηλαδή μόνο οι έχοντες δυνατότητα να πάνε στο ΜΙΤ θα δούνε το φώς!!!

 

Δημοσίευση σχολίου

<< Home